Louis Nirenberg died January 26, 2020 at the age of 94. He made tremendous contributions to the field of partial differential equations and global analysis.
Nirenberg spent essentially his entire career at the Courant Institute at NYU. Indeed, he was one of the mathematicians who helped make the Courant Institute famous for PDEs. The Courant Institute has posted a fine obituary. The Abel Prize website also has a fitting tribute to Nirenberg. Below is a photo from the reception at the Courant Institute in honor of Nirenberg’s Abel Prize. That is NYU President (at the time) John Sexton “bending the knee” before Nirenberg.
Photo courtesy of Deane Yang
Nirenberg’s influence is both broad and deep. Experts in PDEs know of many of his fundamental results. I first learned of him as a graduate student not in PDEs by way of the Newlander-Nirenberg Theorem, which shows that an almost complex structure is integrable if and only if the corresponding Nijenhuis tensor vanishes. Nirenberg’s influence is not limited to his publications. He worked with many mathematicians. For instance, he has 69 co-authors in the Mathematical Reviews Database. According to the Mathematics Genealogy Project, Louis Nirenberg had 46 students and 403 descendants. I don’t know how to count, or even estimate, the number of post-docs at Courant who benefitted from their interactions with Nirenberg. Anecdotally, it was a lot.
Nirenberg had been a member of the AMS since 1947. He won two of the AMS’s major prizes: the Bôcher Memorial Prize in 1959 and the Steele Prize for Lifetime Achievement in 1994 and the Steele Prize for Seminal Contribution to Research (joint with Luis Caffarelli and Robert Kohn) in 2014 for their joint paper MR0673830 Caffarelli, L.; Kohn, R.; Nirenberg, L. Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations. Comm. Pure Appl. Math. 35 (1982), no. 6, 771–831.
Nirenberg had many connections with Italian mathematicians. See, for instance, the review of his papers (copied at the end of this post):
MR0125307 Agmon, S.; Douglis, A.; Nirenberg, L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. I. Comm. Pure Appl. Math. 12 (1959), 623–727.
and
MR0162050 Agmon, S.; Douglis, A.; Nirenberg, L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. II. Comm. Pure Appl. Math. 17 (1964), 35–92.
I invite you to learn more about Louis Nirenberg by looking him up in MathSciNet, by following some of the links in this post (especially the two obituaries), or by talking with any of the many mathematicians who knew him or his work firsthand.
Some reviews of Nirenberg’s work
MR0634248
Gidas, B.; Ni, Wei Ming; Nirenberg, L.
Symmetry of positive solutions of nonlinear elliptic equations in ${\bf R}^{n}$. Mathematical analysis and applications, Part A, pp. 369–402,
Adv. in Math. Suppl. Stud., 7a, Academic Press, New York-London, 1981.
35J60 (53C05 58G20)
The authors follow up their celebrated paper [Comm. Math. Phys. 68 (1979), no. 3, 209–243; MR0544879] by studying positive solutions of nonlinear elliptic equations in the whole of ${\bf R}^n$ and give conditions sufficient to ensure that the solutions are spherically symmetric. Three theorems will illustrate the scope of their work. Theorem 1: Let $u\in C^2({\bf R}^n)$ be a positive solution of $-\Delta u=g(u)$ in ${\bf R}^n\ (n\geq 3)$ with $u(x)=O(|x|^{-m})$ at infinity $(m>0)$, and suppose that (i) on the interval $[0,u_0]$, where $u_0=\max$ {$u(x)\colon x\in{\bf R}^n$}, $g$ can be written as $g_1+g_2$, where $g_1\in C^1$ and $g_2$ is continuous and nondecreasing: (ii) near 0, $g(s)=O(s^\alpha)$ for some $\alpha>\max\{(n+1)/m,(2/m)+1\}$. Then $u(x)$ is spherically symmetric about some point in ${\bf R}^n$, $u_r<0$ for $r>0$ ($r$ is the radial coordinate about that point), and $|x|^{n-2}u(x)\rightarrow k>0$ as $|x|\rightarrow\infty$. Theorem 2: Let $u\in C^2({\bf R}^n)$ be a positive solution of $-\Delta u+m^2u=g(u)$ in ${\bf R}^n\ (n\geq 2,m>0)$ with $u(x)\rightarrow 0$ as $|x|\rightarrow\infty$ and $g$ continuous, $g(s)=O(s^\alpha)$ (for some $\alpha>1$) near 0. Suppose that on $[0,u_0]$, $g=g_1+g_2$ with $g_2$ nondecreasing and $g_1\in C^1$ such that $|g_1(s)-g_1(t)|\leq C|s-t|/|\log\text{}\min(s,t)|^p\ (s,t\in[0,u_0])$ for some $C>0,p>1$. Then $u(x)$ is spherically symmetric about some point in ${\bf R}^n$, $u_r<0$ for $r>0$, and $r^{(n-1)/2}e^ru(r)\rightarrow 0$ as $r\rightarrow\infty$. Theorem 3: Let $u\in C^2({\bf R}^n)$ be a positive solution of $-\Delta u=g(u)$ in ${\bf R}^n\smallsetminus\{0\}$ such that $u(x)=O(|x|^{-m})$ as $|x|\rightarrow\infty\ (m>0)$ and $u(x)\rightarrow\infty$ as $x\rightarrow 0$. Suppose that (i) $g$ is continuous and nondecreasing on $[0,\infty)$, and for some $\alpha>(n+1)/m$, $g(s)=O(s^\alpha)$ near 0; (ii) $\liminf_{s\rightarrow\infty}g(s)s^{-p}>0$ for some $p>n/(n-2)$. Then $u(x)$ is spherically symmetric about 0 and $u_r<0$ for $r>0$. The techniques used are adaptations of the ingenious ones used in the authors’ earlier paper [op. cit.].
Reviewed by D. E. Edmunds
MR0125307
Agmon, S.; Douglis, A.; Nirenberg, L.
Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. I.
Comm. Pure Appl. Math. 12 (1959), 623–727.
35.43
Questo lavoro costituisce una tappa molto importante nella teoria dei problemi al contorno per le equazioni ellittiche d’ordine qualunque; vengono infatti ottenute le maggiorazioni del tipo di Schauder e quelle negli spazi del tipo $L_p$ per una vasta classe di problemi al contorno per le equazioni lineari e ne vengono dedotte alcune notevoli conseguenze circa l’esistenza e la regolarizzazione delle soluzioni, anche per equazioni non lineari.
Sia $L(x,D)=L(x,\partial/\partial x_1,\cdots,\partial/\partial x_{n+1})$ un operatore lineare differenziale di ordine $2m$ a coefficienti complessi definiti in un dominio $\scr D$ dello spazio euclideo a $n+1$ dimensioni, ivi uniformemente ellittico e, se $n=1$, soddisfacente anche alla condizione “sulle radici”: (i) per ogni $x\in\dot{\scr D}$ (frontiera di $\scr D$) e per ogni numero reale $\xi_1\neq 0$ il polinomio nella variabile complessa $\tau\ L'(x;\xi_1,\tau)$, dove $L’$ è la parte principale di $L$ (costituita cioè dai termini di ordine massimo) abbia esattamente $m$ radici con parte immaginaria positiva. Siano inoltre $B_j(x,D)$, $j=1,\cdots,m$ altri operatori differenziali di ordine $m_j$ rispettivamente, a coefficienti complessi, definiti per $x\in\dot{\scr D}$, e $B_j{}’$ le loro parti principali. Supponiamo che sia verificata la condizione “complementare”: (ii) per ogni punto $x\in\dot{\scr D}$ e per ogni vettore reale $\xi=(\xi_1,\cdots,\xi_{n+1})\neq 0$ tangente a $\dot{\scr D}$ in $x$, indicata con $\nu$ la normale interna a $\dot{\scr D}$, gli $m$ polinomi in $\tau$, $B_j{}'(x;\xi+\tau\nu)$, siano linearmente indipendenti modulo il polinomio $\prod_{k=1}^m(\tau-\tau_k{}^+(\xi))$, dove $\tau_k{}^+(\xi)$ sono le radici di $L'(x;\xi+\tau\nu)$ con parte immaginaria positiva. Il problema al contorno considerato è allora il seguente $$ Lu=f;\quad(2)\ B_ju=\varphi_j,\quad j=1,\cdots,m. \tag1 $$
Fondamentale per il seguito è lo studio fatto nel cap. I del sistema (1)-(2), nel caso che $L=L’$, $B=B’$, a coefficienti costanti e $\scr D$ coincida col semispazio $x_{n+1}>0$; generalizzando un’idea e un risultato di S. Agmon [Comm. Pure Appl. Math. 10 (1957), 179–239; MR0106323] per il caso $n=1$, si ottiene una formula generale di rappresentazione con opportuni “potenziali” per le soluzioni di (1)-(2), utilizzando l’esplicita costruzione dei nuclei di Poisson del problema e la soluzione fondamentale relativa a $L’$. Da essa viene tra l’altro ricavata, nel caso del problema di Dirichlet, una estensione alle equazioni $L’u=0$ del noto principio di massimo per le equazioni del secondo ordine. Lo studio dei “potenziali” introdotti viene perfezionato, sempre nel cap. I, mediante l’uso del teorema di Calderón e Zygmund [Acta Math. 88 (1952), 85–139; MR0052553] ottenendo risultati del tipo di Privaloff e di M. Riesz.
Il cap. II è dedicato alle maggiorazioni di Schauder; con l’aiuto della formola di rappresentazione e dei risultati del cap. I viene studiato dapprima il problema nel caso trattato nel cap. I e poi si passa al caso generale; il risultato più importante è il seguente. Sia $l$ intero $\geq 0$ e $\alpha$ reale tale che $0\leq\alpha<1$; indichiamo con $C^{l+\alpha}(\scr D)$ lo spazio delle funzioni $u$ continue con le loro derivate fino all’ordine $l$ in $\overline{\scr D}=\scr D\cup\dot{\scr D}$ e inoltre, se è $\alpha>0$, con le derivate d’ordine $l$ uniformemente holderiane di esponente $\alpha$ in $\scr D$, normalizzato da $$ |u|_{l+\alpha}=\\ \sup_{|h|\leq l}\ (\sup_{x\in\overline{\scr D}}|D^hu(x)|)+\sup_{|h|=l}\left(\sup_{x,y\in\scr D;x\neq y}\frac{|D^lu(x)-D^lu(y)|}{|x-y|^\alpha}\right), $$ il secondo addendo non essendoci se $\alpha=0$ e intendendo che, per ogni $n+1$-upla $h=(h_1,\cdots,h_{n+1})$ di interi $h_i\geq 0$, è $|h|=\sum h_i$ e $D^hu=\partial^{|k|}u/\partial x_1{}^{h_1}\cdots\partial x_{n+1}^{h_{n+1}}$. In modo analogo si definisce lo spazio $C^{l+\alpha}\ (\dot{\scr D})$ e si dice che $\dot{\scr D}$ è di classe $C^{l+\alpha}$. Si ha allora il Teorema 7.3: Sia $l\geq l_0=\max\ (2m,m_j)$, $0<\alpha<1$, $\scr D$ limitato e $\dot{\scr D}$ di classe $C^{l+\alpha}$, i coefficienti di $L$ e di $B_j$ appartengano rispettivamente a $C^{l-2m+\alpha}(\scr D)$ e $C^{l-m_j+\alpha}(\dot{\scr D})$, $L$ sia uniformemente ellittico in $\scr D$ e verifichi la (i) e, insieme ai $B_j$, la (ii); allora, se $f\in C^{l-2m+\alpha}(\scr D)$ e $\varphi_j\in C^{l-m_j+\alpha}(\dot{\scr D})$, ogni soluzione $u\in C^{l_0+\alpha}(\scr D)$ del problema (1)-(2) appartiene anche a $C^{l+\alpha}(\scr D)$ e verifica la $$ |u|_{l+\alpha}\leq k\{|f|_{l-2m+\alpha}+\sum|\varphi_j|_{l-m_j+\alpha}+|u|_0\} $$ ($k$ indipendente da $f,\varphi_j,u$).
Nel cap. III le maggiorazioni di Schauder vengono ulteriormente perfezionate per le equazioni e i relativi problemi al contorno posti in forma variazionale o integrale; il teorema 7.3 viene esteso in forma opportuna anche al caso di $l\leq l_0$, purchè sia $l\geq p$, dove $p$ è il massimo ordine di derivazione, rispetto alla normale a $\dot{\scr D}$, che compare negli operatori $B_j$.
Le maggiorazioni negli spazi di Sobolev $H_{j,L_p}$, vengono studiate nel cap. V, sfruttando sempre i risultati del cap. I. Per $j$ intero $\geq 0\ H_{j,L_p}(\dot{\scr D})$ è qui inteso come completamento astratto delle funzioni di $C^j(\scr D)$ rispetto alla norma $\|u\|_{j,L_p}=(\sum_{|h|\leq j}\int_D|D^hu|^pdx)^{1/p}$, $p>1$; $H_{j-1/p,L_p}(\dot{\scr D})$ è lo spazio delle funzioni $\varphi$ su $\dot{\scr D}$ che sono “tracce” su $\dot{\scr D}$ di funzioni $v\in H_{j,L_p}(\scr D)$, la norma essendovi definita da $\|\varphi\|_{j-1/p,L_p}=\inf\|v\|_{j,L_p}$ tra tutte le $v\in H_{j,L_p}(\scr D)$ aventi $\varphi$ come “traccia” su $\dot{\scr D}$.
Il risultato più importante è espresso dal teorema 15.2: Sia $l$ un intero $\geq l_1=\max\ (2m,m_j+1)$; nelle stesse ipotesi del teorema 7.5 per $\alpha=0$, se $f\in H_{l-2m,L_p}(\scr D)$ e $\varphi_jH_{l-m_j-1/p,L_p}(\dot{\scr D})$ ogni soluzione del problema (1)-(2) appartenente a $H_{l_1,L_p}(\scr D)$, appartiene anche a $H_{l,L_p}(\scr D)$ e si ha $$ \|u\|_{l,L_p}\leq k\{\|f\|_{l-2m,L_p}+\sum\|\varphi_j\|_{l-m_j-1/p,L_p}+\|u\|_{0,L_p}\} $$ $k$ indipendente da $f,\varphi_j,u$. Il teorema 15.2 viene perfezionato nel caso del problema in forma variazionale prendendo in considerazione anche il caso $l<l_1$ purchè sia $l\geq p+1$.
Nel cap. IV vengono date numerose importanti applicazioni, sopratutto alle questioni esistenziali, delle maggiorazioni ottenute (altre ancora sono appena accennate e andrebbero maggiormente sviluppate): nel n. 10 viene dimostrato che le condizioni (i) e (ii) sono necessarie per la validità delle maggiorazioni ottenute; i n. 11 e 13 contengono diversi risultati sulla regolarità delle soluzioni di equazioni non lineari con condizioni al contorno non lineari, nell’ipotesi che le variazioni prime della equazione e delle condizioni al contorno verifichino le ipotesi (i) e (ii); da notare in particolare quelle relativi alle equazioni del Calcolo delle variazioni nel n. 11. Assai vario e notevole è il contenuto del n. 12: teoremi di compattezza per le soluzioni, applicazione della teoria di Riesz, esposizione del cosidetto metodo di continuità per ottenere teoremi di esistenza e di unicità quando si consideri una famiglia di operatori $L_t$ e $B_{j,t}$ dipendente da un parametro $t$, teorema di perturbazione per equazioni non lineari. Sempre nel n. 12 viene considerato in modo particolare il problema di Dirichlet per le equazioni lineari dal punto di vista dell’esistenza della soluzione; tra i risultati più significativi ricordiamo il Teorema 12.7 (la cui dimostrazione utilizza tra l’altro i recenti risultati di S. Agmon [#A2609] e di M. Schechter [Comm. Pure Appl. Math. 12 (1959), 457–486]: Se i coefficienti di $L$ appartengono a $C^\alpha(\scr D)$, $0<\alpha<1$, e se il problema di Dirichlet $Lu=f$, $\partial^{i-1}u/\partial\nu^{j-1}=\varphi_j$ ($\nu$ normale a $\dot{\scr D}$), $j=1,\cdots,m$ ha al più una soluzione in $C^{2m+\alpha}(\scr D)$, allora esso ha una soluzione in $C^{2m+\alpha}(\scr D)$ per ogni $f\in C^\alpha(\scr D)$ e $\varphi_j\in C^{2m-j+1+\alpha}(\dot{\scr D})$.
Il teorema 12.7 viene esteso anche agli spazi $H_{2m,L_p}(\scr D)$, utilizzando i risultati del cap. V. Notevoli sono anche il teorema 12.8, che assicura la unicità nello spazio $H_{2m,L_2}(\scr D)$ della soluzione del problema per l’operatore $L+\lambda$ con $\lambda$ positivo sufficientemente grande, quando $L$ sia debolmente positivo semidefinito, e il teorema 12.10, che afferma l’esistenza e l’unicità in $C^{m-1+\alpha}(\scr D)$, $0<\alpha<1$, della soluzione del problema $Lu=0$, $\partial^{j-1}u/\partial\nu^{j-1}=\varphi_j$ per ogni $\varphi_j\in C^{m-j+\alpha}(\dot{\scr D})$, quando $L$ sia dato in forma integrale e sia debolmente positivo.
Molti risultati analoghi a quelli di questo lavoro sono stati ottenuti indipendentemente anche da F. E. Browder [Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 45 (1959), 365–372].
Reviewed by E. Magenes
MR0162050
Agmon, S.; Douglis, A.; Nirenberg, L.
Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. II.
Comm. Pure Appl. Math. 17 (1964), 35–92.
35.46
In questo lavoro vengono generalizzati ai problemi al contorno per sistemi ellittici di ordine qualunque i fondamentali risultati ottenuti nel caso di una equazione nella parte I [stessi Comm. 12 (1959), 623–727; MR0125307]; sono infatti dimostrate le maggiorazioni del tipo di Schauder e quelle negli spazi del tipo $L_p$ per una vasta classe di sistemi ellittici lineari e ne sono dedotte alcune interessanti applicazioni quali la regolarizzazione delle soluzioni anche per sistemi di equazioni non lineari.
Nel cap. I viene formulato il problema al contorno. Si consideri il sistema $$ \sum_{j=1}^Nl_{ij}(P,\partial)u_j(P)=F_i(P),\quad i=1,\cdots,N, \tag1 $$ dove gli $l_{ij}(P,\partial)=l_{ij}(P;\partial/\partial x_1,\cdots,\partial/\partial x_{n+1})$, operatori differenziali lineari, sono polinomi in $\partial$ a coefficienti a valori complessi dipendenti da $P$ variabile in un dominio $D$ dello spazio euclideo ad $n+1$ dimensioni. L’ordine di tali operatori dipende da due sistemi di pesi interi $s_1,\cdots,s_N$, $t_1,\cdots,t_N$ nel modo seguente: $l_{ij}(P,\xi)$ è un polinomio in $\xi$ di grado $\leq s_i+t_j$, $i,j=1,\cdots,N$; ovviamente se $s_i+t_j<0$ allora $l_{ij}(P,\partial)=0$. Aggiungendo una opportuna costante ad un sistema di interi e togliendola all’altro si può poi assumere $s_i\leq 0$ e poichè non tutti gli $l_{ij}(P,\partial)$ sono $\equiv 0$ allora $t_j\geq 0$. Detta $l_{ij}{}'(P,\xi)$ la parte di grado $s_i+t_j$ del polinomio $l_{ij}(P,\xi)$ la condizione di ellitticità imposta sul sistema (1) è la seguente: $L(P,\xi)=\det\|l_{ij}{}'(P,\xi)\|_{i,j=1,\cdots,N}\neq 0$ per $\xi$ reale $\neq 0$. Nel caso $n=1$ viene imposta la seguente condizione supplementare su $L\colon L(P,\xi)$ è un polinimio in $\xi$ di ordine $\sum_{i=1}^N(s_i+t_i)=2m$; per ogni $P\in\dot D$ (frontiera di $D$) se $n$ è la normale a $\dot D$ in $P$ e se $\xi$ è un vettore reale $\neq 0$ tangente a $\dot D$ in $P$ allora il polinomio $L(P,\xi+\tau n)$, nella variabile complessa $\tau$, ha esattamente $m$ radici $\tau_1{}^+(P,\xi),\cdots,\tau_m{}^+(P,\xi)$ con parte immaginaria positiva. Il caso $m=0$ si può facilmente risolvere in maniera esplicita [Douglis e Nirenberg, ibid. 8 (1955), 503–538; MR0075417] e quindi si suppone $m>0$; inoltre si suppone il sistema uniformemente ellittico. Si considerino poi su $\dot D$ le condizioni al contorno espresse nella forma seguente: $$ \sum_{j=1}^NB_{hj}(P,\partial)u_j(P)=\varphi_h(P),\quad h=1,\cdots,m, \tag2 $$ con $B_{hj}(P,\partial)$ operatori differenziali lineari a coefficienti a valori complessi dipendenti da $P$. Gli ordini di tali operatori dipendono da due sistemi di pesi interi $t_1,\cdots,t_N$, $r_1,\cdots,r_m$ nel modo seguente: $B_{hj}(P,\xi)$ è un polinomio in $\xi$ di grado $\leq r_h+t_j$, $h=1,\cdots,m$, $j=1,\cdots,N$; naturalmente se $r_h+t_j<0$ allora $B_{hj}(P,\partial)=0$. Sia $B_{hj}{}'(P,\xi)$ la parte di $B_{hj}(P,\xi)$ di grado $r_h+t_j$. Indicata con $\|L^{jk}(P,\xi+\tau n)\|_{j,k=1,\cdots,N}$ la matrice aggiunta di $\|l_{ij}{}'(P,\xi+\tau n)\|_{i,j=1,\cdots,N}$, si impone allora sulle condizioni al contorno (2) la seguente condizione complementare: le righe della matrice $$ \|B_{hj}{}'(P,\xi+\tau n)\|_{\underset j=1,\cdots,N\to{h=1,\cdots,m}}\cdot\|L^{jk}(P,\xi+\tau n)\|_{j,k=1,\cdots,N}, $$ i cui elementi sono considerati come polinomi in $\tau$, devono essere linearmente indipendenti modulo il polinomio, in $\tau$, $\prod_{k=1}^m(\tau-\tau_k{}^+(P,\xi))$. È naturale chiedersi se, dato un sistema ellittico, esistano delle condizioni al contorno che verificano la condizione complementare; per la risposta completa a tale questione gli autori rinviano ad un lavoro non pubblicato di R. Bott; viene solo da essi dimostrato che il problema di Dirichlet per un sistema fortemente ellittico verifica la condizione complementare. Viene dimostrato, sempre nel cap. I, che ogni sistema ellittico può essere rimodellato, con l’aggiunta di nuove variabili, in modo che sia $s_i+t_j\leq 1$ e che, trasformando di conseguenza le condizioni alla frontiera originarie, la condizione complementare sia ancora verificata.
Il cap. II è dedicato allo studio del sistema (1), (2) con $l_{ij}=l_{ij}{}’$ ed $l_{ij}{}’$ a coefficienti costanti e $B_{hj}=B_{hj}{}’$ e $B_{hj}{}’$ a coefficienti costanti, $D$ essendo il semispazio $x_{n+1}>0$. Nel n.4 viene costruita, medianti opportuni nuclei di Poisson, una formula esplicita per la soluzione del problema studiato nel caso $F_i=0$, $i=1,\cdots,N$. Tale costruzione è basata sullo studio, fatto nel n.3, del comportamento asintotico delle soluzioni di sistemi di equazioni differenziali ordinarie con condizioni iniziali molto generali. Sempre nel n.4 vengono date alcune maggiorazioni dei nuclei di Poisson che permetteranno nel n.5 di applicare alla soluzione esplicita il teorema di Calderón e Zygmund [Acta Math. 88 (1952), 85–139; MR0052553]. Fondamentale per il seguito è la formula di rappresentazione, ottenuta nel n.6, per le soluzioni del problema non omogeneo. Tale risultato si dimostra usando la formula esplicita ottenuta nel n.4 ed i risultati del n.5 con un ragionamento analogo a quello svolto nella parte I nel caso di una equazione.
Il cap. III è dedicato alla dimostrazione delle maggiorazioni del tipo di Schauder. Tali maggiorazioni vengono dapprima (n.8) ottenute per i problemi considerati nel cap. II, per i quali è stata trovata la formula di rappresentazione, ed infine, con le stesse techniche della parte I, tali maggiorazioni vengono estese al caso generale. Sia $l$ intero $\geq 0$ e $\alpha$ reale con $0<\alpha<1$; si indica con $C^{l+\alpha}(D)$ lo spazio delle funzioni $u$ continue con le loro derivate fino all’ordine $l$ in $\overline D=D\cup\dot D$ e inoltre con le derivate di ordine $l$ uniformemente hölderiane di esponente $\alpha$ in $D$ normalizzato da $$ |u|_{l+\alpha}^D=\sup_{|h|\leq 1}\left(\sup_{x\in\overline D}|\partial^hu(x)|\right)\\ +\sup_{|h|=1}\left(\sup_{\underset x\neq y\to{x,y\in D}}\frac{|\partial^lu(x)-\partial^lu(y)|}{|x-y|^\alpha}\right) $$ intendendo che per ogni $(n+1)$-upla $h=(h_1,\cdots,h_{n+1})$ di interi $h_i\geq 0$ è $|h|=\sum_{i=1}^{n+1}h_i$ e $\partial^hu=\partial^{|h|}u/\partial x_1{}^{h_1}\cdots\partial x_{n+1}^{h_{n+1}}$. In modo analogo si definisce lo spazio $C^{l+\alpha}(\dot D)$ con la norma $|u|_{l+\alpha}^{\dot D}$. Si ha allora il Teorema 9.3: sia $D$ un dominio limitato di $R^{n+1}$ di classe $C^{l+\lambda+\alpha}$ con $l$ intero $\geq l_0=\max(0,r_1,\cdots,r_m)$, $\alpha$ reale con $0<\alpha<1$ e $\lambda=\max(t_1,\cdots,t_N,-s_1,\cdots,-s_N,-r_1,\cdots,-r_m)$. Supponiamo che i coefficienti di $l_{ij}$ siano in $C^{l-s_i+\alpha}(\overline D)$ e quelli di $B_{hj}$ in $C^{l-r_h+\alpha}(\dot D)$. Nelle ipotesi fatte su $l_{ij}$ e $B_{hj}$ nel cap. I, sia $u_1,\cdots,u_N$ una soluzione di (1) in $D$ e di (2) su $\dot D$ con $F_i\in C^{l-s_i+\alpha}(\overline D)$ e con $\varphi_h\in C^{l-r_h+\alpha}(\dot D)$. Se $u_j\in C^{l_0+t_j+\alpha}(\overline D)$, allora $u_j\in C^{l+t_j+\alpha}(\overline D)$ e vale la maggiorazione: $$ |u_j|_{l+t_j+\alpha}^D\leq C\left(\sum_{i=1}^N|F_i|_{l-s_i+\alpha}^D+\sum_{h=1}^m|\varphi_h|_{l-r_h+\alpha}^{\dot D}+\sum_{k=1}^N|u_k|_0{}^D\right),\\ j=1,\cdots,N, $$ con $C$ costante che non dipende da $u_1,\cdots,u_N$, $F_1,\cdots,F_N$, $\varphi_1,\cdots,\varphi_m$. Tale risultato è anche valido sotto opportune condizioni nel caso in cui $D$ sia un dominio illimitato.
Il cap. IV è poi dedicato alle maggiorazioni a priori negli spazi $H_{j,L_p}$. Per $j$ intero $>0$, $H_{j,L_p}(D)$ è qui inteso come completamento astratto di $C^\infty(\overline D)$ rispetto alla norma $\|u\|_{j,L_p}=(\sum_{|h|\leq j}\int_D|\partial^hu|^p\,dx)^{1/p}$, $p>1$; $H_{j-1/p,L_p}(\dot D)$ è lo spazio delle funzioni $\varphi$ su $\dot D$ che sono “tracce” su $\dot D$ di funzioni $v\in H_{j,L_p}(D)$ la norma essendovi definita da $\|\varphi\|_{j-1/p,L_p}=\inf\|v\|_{j,L_p}$ fra tutte le $v\in H_{j,L_p}(D)$ aventi $\varphi$ come traccia su $\dot D$. Tali maggiorazioni sono ottenute sempre a partire dalla formula di rappresentazione stabilita nel n.6, con lo stesso ragionamento della parte I. Il risultato più importante per le maggiorazioni di carattere globale è il seguente Teorema 10.5: sia $l_1=\max(0,r_1+1,\cdots,r_m+1)$ e sia $l$ un intero $\geq l_1$; sia $D$ un dominio limitato di classe $C^{l+\lambda}$, e supponiamo che i coefficienti di $l_{ij}$ siano in $C^{l-s_i}(\overline D)$ e quelli di $B_{hj}$ in $C^{l-r_h}(\dot D)$. Nelle ipotesi fatte su $l_{ij}$ e $B_{hj}$ nel cap. I, sia $u_1,\cdots,u_N$ una soluzione di (1) con $F_i\in H_{l-s_i,L_p}(D)$ e di (2) con $\varphi_h\in H_{l-r_h-1/p,L_p}(\dot D)$; allora se $u_j\in H_{l_1+t_j,L_p}(D)$ risulta per $j=1,\cdots,N\ u_j\in H_{l+t_j,L_p}(D)$ e $$ \|u_j\|_{l+t_j,L_p}\leq K\Bigg(\sum_{i=1}^N\|F_i\|_{l-s_i,L_p}\\ +\sum_{h=1}^m\|\varphi_h\|_{l-r_h-1/p,L_p}+\sum_{k=1}^N\|u_k\|_{0,L_p}\Bigg) $$ con $K$ costante indipendente da $u_1,\cdots,u_N$, $F_1,\cdots,F_N$, $\varphi_1,\cdots,\varphi_m$. Vengono poi date anche delle maggiorazioni di carattere locale alla frontiera.
Nel cap. V viene dimostrata, con alcuni esempi, la necessità delle ipotesi fatte nel cap. I per avere le maggiorazioni a priori (n. 11) e sono date, nei n. 12, 13, 14, alcune applicazioni dei risultati ottenuti: regolarizazzione di sistemi non lineari, perturbazione di problemi non lineari, maggiorazioni di Schauder per equazioni semi-lineari. Vengono infine (n. 15) costruiti dei nuclei di Poisson “approssimati” per equazioni a coefficienti variabili.
Come è detto nell’introduzione, alcuni dei risultati di questo lavoro sono stati annunciati da vari autori.
Reviewed by G. Geymonat
