{"id":2590,"date":"2020-01-29T18:42:20","date_gmt":"2020-01-29T23:42:20","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.ams.org\/beyondreviews\/?p=2590"},"modified":"2020-01-29T18:42:20","modified_gmt":"2020-01-29T23:42:20","slug":"louis-nirenberg","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ams.org\/beyondreviews\/2020\/01\/29\/louis-nirenberg\/","title":{"rendered":"Louis Nirenberg"},"content":{"rendered":"

\"Portrait Louis Nirenberg<\/a> died January 26, 2020 at the age of 94.\u00a0 He made tremendous contributions to the field of partial differential equations and global analysis. \u00a0<\/p>\n

Nirenberg spent essentially his entire career at the Courant Institute at NYU.\u00a0 Indeed, he was one of the mathematicians who helped make the Courant Institute famous for PDEs.\u00a0\u00a0The Courant Institute<\/a> has posted a fine obituary<\/a>.\u00a0 The Abel Prize website also has a fitting tribute<\/a> to Nirenberg.\u00a0 Below is a photo from the reception at the Courant Institute in honor of Nirenberg’s Abel Prize.\u00a0 That is NYU President (at the time) John Sexton<\/a> “bending the knee” before Nirenberg.<\/p>\n

\"Louis

Photo courtesy of Deane Yang<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

Nirenberg’s influence is both broad and deep.\u00a0 Experts in PDEs know of many of his fundamental results.\u00a0 I first learned of him as a graduate student not in PDEs by way of the Newlander-Nirenberg Theorem<\/a>, which shows that an almost complex structure is integrable if and only if the corresponding Nijenhuis tensor vanishes.\u00a0 Nirenberg’s influence is not limited to his publications.\u00a0 He worked with many mathematicians.\u00a0 For instance, he has 69 co-authors<\/a> in the Mathematical Reviews Database.\u00a0 According to the Mathematics Genealogy Project<\/a>, Louis Nirenberg had 46 students and 403 descendants<\/a>.\u00a0 \u00a0I don’t know how to count, or even estimate, the number of post-docs at Courant who benefitted from their interactions with Nirenberg.\u00a0 Anecdotally, it was a lot.<\/p>\n

Nirenberg had been a member of the AMS<\/a> since 1947.\u00a0 He won two of the AMS’s major prizes: the B\u00f4cher Memorial Prize<\/a>\u00a0 in 1959<\/a> and the Steele Prize for Lifetime Achievement<\/a> in 1994<\/a> and the Steele Prize for Seminal Contribution to Research<\/a> (joint with Luis Caffarelli and Robert Kohn) in 2014<\/a> for their joint paper MR0673830<\/a> Caffarelli, L.; Kohn, R.; Nirenberg, L. Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations. Comm. Pure Appl. Math.<\/em> 35 (1982), no. 6, 771\u2013831.<\/p>\n

Nirenberg had many connections with Italian mathematicians.\u00a0 See, for instance, the review of his papers (copied at the end of this post):
\nMR0125307<\/a>\u00a0 Agmon, S.; Douglis, A.; Nirenberg, L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. I. Comm. Pure Appl. Math. 12 (1959), 623\u2013727.
\nand
\nMR0162050<\/a> Agmon, S.; Douglis, A.; Nirenberg, L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. II. Comm. Pure Appl. Math. 17 (1964), 35\u201392.<\/p>\n

I invite you to learn more about Louis Nirenberg by looking him up in MathSciNet, by following some of the links in this post (especially the two obituaries), or by talking with any of the many mathematicians who knew him or his work firsthand.<\/p>\n

\n

Some reviews of Nirenberg’s work<\/h2>\n

MR0634248<\/strong><\/a>\u00a0\u00a0<\/b><\/span>
\nGidas, B.<\/a>;\u00a0Ni, Wei Ming<\/a>;\u00a0Nirenberg, L.<\/a>
\nSymmetry of positive solutions of nonlinear elliptic equations in\u00a0${\\bf R}^{n}$<\/span>.<\/span>\u00a0Mathematical analysis and applications, Part A,\u00a0<\/em>pp. 369\u2013402,
\nAdv. in Math. Suppl. Stud., 7a,\u00a0Academic Press, New York-London,<\/em>\u00a01981.
\n35J60 (53C05 58G20)<\/a><\/p>\n

The authors follow up their celebrated paper [Comm. Math. Phys.\u00a068<\/span>\u00a0(1979), no. 3, 209\u2013243;\u00a0MR0544879<\/a>] by studying positive solutions of nonlinear elliptic equations in the whole of\u00a0${\\bf R}^n$<\/span>\u00a0and give conditions sufficient to ensure that the solutions are spherically symmetric. Three theorems will illustrate the scope of their work. Theorem 1: Let\u00a0$u\\in C^2({\\bf R}^n)$<\/span>\u00a0be a positive solution of\u00a0$-\\Delta u=g(u)$<\/span>\u00a0in\u00a0${\\bf R}^n\\ (n\\geq 3)$<\/span>\u00a0with\u00a0$u(x)=O(|x|^{-m})$<\/span>\u00a0at infinity\u00a0$(m>0)$<\/span>, and suppose that (i) on the interval\u00a0$[0,u_0]$<\/span>, where\u00a0$u_0=\\max$<\/span>\u00a0{$u(x)\\colon x\\in{\\bf R}^n$<\/span>},\u00a0$g$<\/span>\u00a0can be written as\u00a0$g_1+g_2$<\/span>, where\u00a0$g_1\\in C^1$<\/span>\u00a0and\u00a0$g_2$<\/span>\u00a0is continuous and nondecreasing: (ii) near 0,\u00a0$g(s)=O(s^\\alpha)$<\/span>\u00a0for some\u00a0$\\alpha>\\max\\{(n+1)\/m,(2\/m)+1\\}$<\/span>. Then\u00a0$u(x)$<\/span>\u00a0is spherically symmetric about some point in\u00a0${\\bf R}^n$<\/span>,\u00a0$u_r<0$<\/span>\u00a0for\u00a0$r>0$<\/span>\u00a0($r$<\/span>\u00a0is the radial coordinate about that point), and\u00a0$|x|^{n-2}u(x)\\rightarrow k>0$<\/span>\u00a0as\u00a0$|x|\\rightarrow\\infty$<\/span>. Theorem 2: Let\u00a0$u\\in C^2({\\bf R}^n)$<\/span>\u00a0be a positive solution of\u00a0$-\\Delta u+m^2u=g(u)$<\/span>\u00a0in\u00a0${\\bf R}^n\\ (n\\geq 2,m>0)$<\/span>\u00a0with\u00a0$u(x)\\rightarrow 0$<\/span>\u00a0as\u00a0$|x|\\rightarrow\\infty$<\/span>\u00a0and\u00a0$g$<\/span>\u00a0continuous,\u00a0$g(s)=O(s^\\alpha)$<\/span>\u00a0(for some\u00a0$\\alpha>1$<\/span>) near 0. Suppose that on\u00a0$[0,u_0]$<\/span>,\u00a0$g=g_1+g_2$<\/span>\u00a0with\u00a0$g_2$<\/span>\u00a0nondecreasing and\u00a0$g_1\\in C^1$<\/span>\u00a0such that\u00a0$|g_1(s)-g_1(t)|\\leq C|s-t|\/|\\log\\text{}\\min(s,t)|^p\\ (s,t\\in[0,u_0])$<\/span>\u00a0for some\u00a0$C>0,p>1$<\/span>. Then\u00a0$u(x)$<\/span>\u00a0is spherically symmetric about some point in\u00a0${\\bf R}^n$<\/span>,\u00a0$u_r<0$<\/span>\u00a0for\u00a0$r>0$<\/span>, and\u00a0$r^{(n-1)\/2}e^ru(r)\\rightarrow 0$<\/span>\u00a0as\u00a0$r\\rightarrow\\infty$<\/span>. Theorem 3: Let\u00a0$u\\in C^2({\\bf R}^n)$<\/span>\u00a0be a positive solution of\u00a0$-\\Delta u=g(u)$<\/span>\u00a0in\u00a0${\\bf R}^n\\smallsetminus\\{0\\}$<\/span>\u00a0such that\u00a0$u(x)=O(|x|^{-m})$<\/span>\u00a0as\u00a0$|x|\\rightarrow\\infty\\ (m>0)$<\/span>\u00a0and\u00a0$u(x)\\rightarrow\\infty$<\/span>\u00a0as\u00a0$x\\rightarrow 0$<\/span>. Suppose that (i)\u00a0$g$<\/span>\u00a0is continuous and nondecreasing on\u00a0$[0,\\infty)$<\/span>, and for some\u00a0$\\alpha>(n+1)\/m$<\/span>,\u00a0$g(s)=O(s^\\alpha)$<\/span>\u00a0near 0; (ii)\u00a0$\\liminf_{s\\rightarrow\\infty}g(s)s^{-p}>0$<\/span>\u00a0for some\u00a0$p>n\/(n-2)$<\/span>. Then\u00a0$u(x)$<\/span>\u00a0is spherically symmetric about 0 and\u00a0$u_r<0$<\/span>\u00a0for\u00a0$r>0$<\/span>. The techniques used are adaptations of the ingenious ones used in the authors’ earlier paper [op. cit.].<\/p>\n

Reviewed by\u00a0D. E. Edmunds<\/a><\/span><\/p>\n

\n

MR0125307<\/strong><\/a>
\nAgmon, S.<\/a>;\u00a0Douglis, A.<\/a>;\u00a0Nirenberg, L.<\/a>
\nEstimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. I.<\/span>
\nComm. Pure Appl. Math.<\/em><\/a>\u00a012\u00a0<\/a>(1959),\u00a0<\/a>623\u2013727.
\n35.43<\/a><\/p>\n

Questo lavoro costituisce una tappa molto importante nella teoria dei problemi al contorno per le equazioni ellittiche d’ordine qualunque; vengono infatti ottenute le maggiorazioni del tipo di Schauder e quelle negli spazi del tipo\u00a0$L_p$<\/span>\u00a0per una vasta classe di problemi al contorno per le equazioni lineari e ne vengono dedotte alcune notevoli conseguenze circa l’esistenza e la regolarizzazione delle soluzioni, anche per equazioni non lineari.<\/p>\n

Sia $L(x,D)=L(x,\\partial\/\\partial x_1,\\cdots,\\partial\/\\partial x_{n+1})$<\/span>\u00a0un operatore lineare differenziale di ordine\u00a0$2m$<\/span>\u00a0a coefficienti complessi definiti in un dominio\u00a0$\\scr D$<\/span>\u00a0dello spazio euclideo a\u00a0$n+1$<\/span>\u00a0dimensioni, ivi uniformemente ellittico e, se\u00a0$n=1$<\/span>, soddisfacente anche alla condizione “sulle radici”: (i) per ogni\u00a0$x\\in\\dot{\\scr D}$<\/span>\u00a0(frontiera di\u00a0$\\scr D$<\/span>) e per ogni numero reale\u00a0$\\xi_1\\neq 0$<\/span>\u00a0il polinomio nella variabile complessa\u00a0$\\tau\\ L'(x;\\xi_1,\\tau)$<\/span>, dove\u00a0$L’$<\/span>\u00a0\u00e8 la parte principale di\u00a0$L$<\/span>\u00a0(costituita cio\u00e8 dai termini di ordine massimo) abbia esattamente\u00a0$m$<\/span>\u00a0radici con parte immaginaria positiva. Siano inoltre\u00a0$B_j(x,D)$<\/span>,\u00a0$j=1,\\cdots,m$<\/span>\u00a0altri operatori differenziali di ordine\u00a0$m_j$<\/span>\u00a0rispettivamente, a coefficienti complessi, definiti per\u00a0$x\\in\\dot{\\scr D}$<\/span>, e\u00a0$B_j{}’$<\/span>\u00a0le loro parti principali. Supponiamo che sia verificata la condizione “complementare”: (ii) per ogni punto\u00a0$x\\in\\dot{\\scr D}$<\/span>\u00a0e per ogni vettore reale\u00a0$\\xi=(\\xi_1,\\cdots,\\xi_{n+1})\\neq 0$<\/span>\u00a0tangente a\u00a0$\\dot{\\scr D}$<\/span>\u00a0in\u00a0$x$<\/span>, indicata con\u00a0$\\nu$<\/span>\u00a0la normale interna a\u00a0$\\dot{\\scr D}$<\/span>, gli\u00a0$m$<\/span>\u00a0polinomi in\u00a0$\\tau$<\/span>,\u00a0$B_j{}'(x;\\xi+\\tau\\nu)$<\/span>, siano linearmente indipendenti modulo il polinomio\u00a0$\\prod_{k=1}^m(\\tau-\\tau_k{}^+(\\xi))$<\/span>, dove\u00a0$\\tau_k{}^+(\\xi)$<\/span>\u00a0sono le radici di\u00a0$L'(x;\\xi+\\tau\\nu)$<\/span>\u00a0con parte immaginaria positiva. Il problema al contorno considerato \u00e8 allora il seguente\u00a0$$ Lu=f;\\quad(2)\\ B_ju=\\varphi_j,\\quad j=1,\\cdots,m. \\tag1 $$<\/span><\/p>\n

Fondamentale per il seguito \u00e8 lo studio fatto nel cap. I del sistema (1)-(2), nel caso che $L=L’$<\/span>,\u00a0$B=B’$<\/span>, a coefficienti costanti e\u00a0$\\scr D$<\/span>\u00a0coincida col semispazio\u00a0$x_{n+1}>0$<\/span>; generalizzando un’idea e un risultato di S. Agmon [Comm. Pure Appl. Math.\u00a010<\/span>\u00a0(1957), 179\u2013239;\u00a0MR0106323<\/a>] per il caso\u00a0$n=1$<\/span>, si ottiene una formula generale di rappresentazione con opportuni “potenziali” per le soluzioni di (1)-(2), utilizzando l’esplicita costruzione dei nuclei di Poisson del problema e la soluzione fondamentale relativa a\u00a0$L’$<\/span>. Da essa viene tra l’altro ricavata, nel caso del problema di Dirichlet, una estensione alle equazioni\u00a0$L’u=0$<\/span>\u00a0del noto principio di massimo per le equazioni del secondo ordine. Lo studio dei “potenziali” introdotti viene perfezionato, sempre nel cap. I, mediante l’uso del teorema di Calder\u00f3n e Zygmund [Acta Math.\u00a088<\/span>\u00a0(1952), 85\u2013139;\u00a0MR0052553<\/a>] ottenendo risultati del tipo di Privaloff e di M. Riesz.<\/p>\n

Il cap. II \u00e8 dedicato alle maggiorazioni di Schauder; con l’aiuto della formola di rappresentazione e dei risultati del cap. I viene studiato dapprima il problema nel caso trattato nel cap. I e poi si passa al caso generale; il risultato pi\u00f9 importante \u00e8 il seguente. Sia\u00a0$l$<\/span>\u00a0intero\u00a0$\\geq 0$<\/span>\u00a0e\u00a0$\\alpha$<\/span>\u00a0reale tale che\u00a0$0\\leq\\alpha<1$<\/span>; indichiamo con\u00a0$C^{l+\\alpha}(\\scr D)$<\/span>\u00a0lo spazio delle funzioni\u00a0$u$<\/span>\u00a0continue con le loro derivate fino all’ordine\u00a0$l$<\/span>\u00a0in\u00a0$\\overline{\\scr D}=\\scr D\\cup\\dot{\\scr D}$<\/span>\u00a0e inoltre, se \u00e8\u00a0$\\alpha>0$<\/span>, con le derivate d’ordine\u00a0$l$<\/span>\u00a0uniformemente holderiane di esponente\u00a0$\\alpha$<\/span>\u00a0in\u00a0$\\scr D$<\/span>, normalizzato da\u00a0$$\u00a0 |u|_{l+\\alpha}=\\\\ \\sup_{|h|\\leq l}\\ (\\sup_{x\\in\\overline{\\scr D}}|D^hu(x)|)+\\sup_{|h|=l}\\left(\\sup_{x,y\\in\\scr D;x\\neq y}\\frac{|D^lu(x)-D^lu(y)|}{|x-y|^\\alpha}\\right),\u00a0 $$<\/span>\u00a0il secondo addendo non essendoci se\u00a0$\\alpha=0$<\/span>\u00a0e intendendo che, per ogni\u00a0$n+1$<\/span>-upla\u00a0$h=(h_1,\\cdots,h_{n+1})$<\/span>\u00a0di interi\u00a0$h_i\\geq 0$<\/span>, \u00e8\u00a0$|h|=\\sum h_i$<\/span>\u00a0e\u00a0$D^hu=\\partial^{|k|}u\/\\partial x_1{}^{h_1}\\cdots\\partial x_{n+1}^{h_{n+1}}$<\/span>. In modo analogo si definisce lo spazio\u00a0$C^{l+\\alpha}\\ (\\dot{\\scr D})$<\/span>\u00a0e si dice che\u00a0$\\dot{\\scr D}$<\/span>\u00a0\u00e8 di classe\u00a0$C^{l+\\alpha}$<\/span>. Si ha allora il Teorema 7.3: Sia\u00a0$l\\geq l_0=\\max\\ (2m,m_j)$<\/span>,\u00a0$0<\\alpha<1$<\/span>,\u00a0$\\scr D$<\/span>\u00a0limitato e\u00a0$\\dot{\\scr D}$<\/span>\u00a0di classe\u00a0$C^{l+\\alpha}$<\/span>, i coefficienti di\u00a0$L$<\/span>\u00a0e di\u00a0$B_j$<\/span>\u00a0appartengano rispettivamente a\u00a0$C^{l-2m+\\alpha}(\\scr D)$<\/span>\u00a0e\u00a0$C^{l-m_j+\\alpha}(\\dot{\\scr D})$<\/span>,\u00a0$L$<\/span>\u00a0sia uniformemente ellittico in\u00a0$\\scr D$<\/span>\u00a0e verifichi la (i) e, insieme ai\u00a0$B_j$<\/span>, la (ii); allora, se\u00a0$f\\in C^{l-2m+\\alpha}(\\scr D)$<\/span>\u00a0e\u00a0$\\varphi_j\\in C^{l-m_j+\\alpha}(\\dot{\\scr D})$<\/span>, ogni soluzione\u00a0$u\\in C^{l_0+\\alpha}(\\scr D)$<\/span>\u00a0del problema (1)-(2) appartiene anche a\u00a0$C^{l+\\alpha}(\\scr D)$<\/span>\u00a0e verifica la\u00a0$$ |u|_{l+\\alpha}\\leq k\\{|f|_{l-2m+\\alpha}+\\sum|\\varphi_j|_{l-m_j+\\alpha}+|u|_0\\} $$<\/span>\u00a0($k$<\/span>\u00a0indipendente da\u00a0$f,\\varphi_j,u$<\/span>).<\/p>\n

Nel cap. III le maggiorazioni di Schauder vengono ulteriormente perfezionate per le equazioni e i relativi problemi al contorno posti in forma variazionale o integrale; il teorema 7.3 viene esteso in forma opportuna anche al caso di\u00a0$l\\leq l_0$<\/span>, purch\u00e8 sia\u00a0$l\\geq p$<\/span>, dove\u00a0$p$<\/span>\u00a0\u00e8 il massimo ordine di derivazione, rispetto alla normale a\u00a0$\\dot{\\scr D}$<\/span>, che compare negli operatori\u00a0$B_j$<\/span>.<\/p>\n

Le maggiorazioni negli spazi di Sobolev\u00a0$H_{j,L_p}$<\/span>, vengono studiate nel cap. V, sfruttando sempre i risultati del cap. I. Per\u00a0$j$<\/span>\u00a0intero\u00a0$\\geq 0\\ H_{j,L_p}(\\dot{\\scr D})$<\/span>\u00a0\u00e8 qui inteso come completamento astratto delle funzioni di\u00a0$C^j(\\scr D)$<\/span>\u00a0rispetto alla norma\u00a0$\\|u\\|_{j,L_p}=(\\sum_{|h|\\leq j}\\int_D|D^hu|^pdx)^{1\/p}$<\/span>,\u00a0$p>1$<\/span>;\u00a0$H_{j-1\/p,L_p}(\\dot{\\scr D})$<\/span>\u00a0\u00e8 lo spazio delle funzioni\u00a0$\\varphi$<\/span>\u00a0su\u00a0$\\dot{\\scr D}$<\/span>\u00a0che sono “tracce” su\u00a0$\\dot{\\scr D}$<\/span>\u00a0di funzioni\u00a0$v\\in H_{j,L_p}(\\scr D)$<\/span>, la norma essendovi definita da\u00a0$\\|\\varphi\\|_{j-1\/p,L_p}=\\inf\\|v\\|_{j,L_p}$<\/span>\u00a0tra tutte le\u00a0$v\\in H_{j,L_p}(\\scr D)$<\/span>\u00a0aventi\u00a0$\\varphi$<\/span>\u00a0come “traccia” su\u00a0$\\dot{\\scr D}$<\/span>.<\/p>\n

Il risultato pi\u00f9 importante \u00e8 espresso dal teorema 15.2: Sia\u00a0$l$<\/span>\u00a0un intero\u00a0$\\geq l_1=\\max\\ (2m,m_j+1)$<\/span>; nelle stesse ipotesi del teorema 7.5 per\u00a0$\\alpha=0$<\/span>, se\u00a0$f\\in H_{l-2m,L_p}(\\scr D)$<\/span>\u00a0e\u00a0$\\varphi_jH_{l-m_j-1\/p,L_p}(\\dot{\\scr D})$<\/span>\u00a0ogni soluzione del problema (1)-(2) appartenente a\u00a0$H_{l_1,L_p}(\\scr D)$<\/span>, appartiene anche a\u00a0$H_{l,L_p}(\\scr D)$<\/span>\u00a0e si ha\u00a0$$ \\|u\\|_{l,L_p}\\leq k\\{\\|f\\|_{l-2m,L_p}+\\sum\\|\\varphi_j\\|_{l-m_j-1\/p,L_p}+\\|u\\|_{0,L_p}\\} $$<\/span>\u00a0$k$<\/span>\u00a0indipendente da\u00a0$f,\\varphi_j,u$<\/span>. Il teorema 15.2 viene perfezionato nel caso del problema in forma variazionale prendendo in considerazione anche il caso\u00a0$l<l_1$<\/span>\u00a0purch\u00e8 sia\u00a0$l\\geq p+1$<\/span>.<\/p>\n

Nel cap. IV vengono date numerose importanti applicazioni, sopratutto alle questioni esistenziali, delle maggiorazioni ottenute (altre ancora sono appena accennate e andrebbero maggiormente sviluppate): nel n. 10 viene dimostrato che le condizioni (i) e (ii) sono necessarie per la validit\u00e0 delle maggiorazioni ottenute; i n. 11 e 13 contengono diversi risultati sulla regolarit\u00e0 delle soluzioni di equazioni non lineari con condizioni al contorno non lineari, nell’ipotesi che le variazioni prime della equazione e delle condizioni al contorno verifichino le ipotesi (i) e (ii); da notare in particolare quelle relativi alle equazioni del Calcolo delle variazioni nel n. 11. Assai vario e notevole \u00e8 il contenuto del n. 12: teoremi di compattezza per le soluzioni, applicazione della teoria di Riesz, esposizione del cosidetto metodo di continuit\u00e0 per ottenere teoremi di esistenza e di unicit\u00e0 quando si consideri una famiglia di operatori\u00a0$L_t$<\/span>\u00a0e\u00a0$B_{j,t}$<\/span>\u00a0dipendente da un parametro\u00a0$t$<\/span>, teorema di perturbazione per equazioni non lineari. Sempre nel n. 12 viene considerato in modo particolare il problema di Dirichlet per le equazioni lineari dal punto di vista dell’esistenza della soluzione; tra i risultati pi\u00f9 significativi ricordiamo il Teorema 12.7 (la cui dimostrazione utilizza tra l’altro i recenti risultati di S. Agmon [#A2609] e di M. Schechter [Comm. Pure Appl. Math.\u00a012<\/span>\u00a0(1959), 457\u2013486]: Se i coefficienti di\u00a0$L$<\/span>\u00a0appartengono a\u00a0$C^\\alpha(\\scr D)$<\/span>,\u00a0$0<\\alpha<1$<\/span>, e se il problema di Dirichlet\u00a0$Lu=f$<\/span>,\u00a0$\\partial^{i-1}u\/\\partial\\nu^{j-1}=\\varphi_j$<\/span>\u00a0($\\nu$<\/span>\u00a0normale a\u00a0$\\dot{\\scr D}$<\/span>),\u00a0$j=1,\\cdots,m$<\/span>\u00a0ha al pi\u00f9 una soluzione in\u00a0$C^{2m+\\alpha}(\\scr D)$<\/span>, allora esso ha una soluzione in\u00a0$C^{2m+\\alpha}(\\scr D)$<\/span>\u00a0per ogni\u00a0$f\\in C^\\alpha(\\scr D)$<\/span>\u00a0e\u00a0$\\varphi_j\\in C^{2m-j+1+\\alpha}(\\dot{\\scr D})$<\/span>.<\/p>\n

Il teorema 12.7 viene esteso anche agli spazi\u00a0$H_{2m,L_p}(\\scr D)$<\/span>, utilizzando i risultati del cap. V. Notevoli sono anche il teorema 12.8, che assicura la unicit\u00e0 nello spazio\u00a0$H_{2m,L_2}(\\scr D)$<\/span>\u00a0della soluzione del problema per l’operatore\u00a0$L+\\lambda$<\/span>\u00a0con\u00a0$\\lambda$<\/span>\u00a0positivo sufficientemente grande, quando\u00a0$L$<\/span>\u00a0sia debolmente positivo semidefinito, e il teorema 12.10, che afferma l’esistenza e l’unicit\u00e0 in\u00a0$C^{m-1+\\alpha}(\\scr D)$<\/span>,\u00a0$0<\\alpha<1$<\/span>, della soluzione del problema\u00a0$Lu=0$<\/span>,\u00a0$\\partial^{j-1}u\/\\partial\\nu^{j-1}=\\varphi_j$<\/span>\u00a0per ogni\u00a0$\\varphi_j\\in C^{m-j+\\alpha}(\\dot{\\scr D})$<\/span>, quando\u00a0$L$<\/span>\u00a0sia dato in forma integrale e sia debolmente positivo.<\/p>\n

Molti risultati analoghi a quelli di questo lavoro sono stati ottenuti indipendentemente anche da F. E. Browder [Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.\u00a045<\/span>\u00a0(1959), 365\u2013372].<\/p>\n

Reviewed by\u00a0E. Magenes<\/a><\/span><\/p>\n

\n

MR0162050<\/strong><\/a>\u00a0\u00a0<\/b><\/span>
\nAgmon, S.<\/a>;\u00a0Douglis, A.<\/a>;\u00a0Nirenberg, L.<\/a>
\nEstimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. II.<\/span>
\nComm. Pure Appl. Math.<\/em><\/a>\u00a017\u00a0<\/a>(1964),\u00a0<\/a>35\u201392.
\n35.46<\/a><\/p>\n

In questo lavoro vengono generalizzati ai problemi al contorno per sistemi ellittici di ordine qualunque i fondamentali risultati ottenuti nel caso di una equazione nella parte I [stessi Comm.\u00a012<\/span>\u00a0(1959), 623\u2013727;\u00a0MR0125307<\/a>]; sono infatti dimostrate le maggiorazioni del tipo di Schauder e quelle negli spazi del tipo\u00a0$L_p$<\/span>\u00a0per una vasta classe di sistemi ellittici lineari e ne sono dedotte alcune interessanti applicazioni quali la regolarizzazione delle soluzioni anche per sistemi di equazioni non lineari.<\/p>\n

Nel cap. I viene formulato il problema al contorno. Si consideri il sistema $$ \\sum_{j=1}^Nl_{ij}(P,\\partial)u_j(P)=F_i(P),\\quad i=1,\\cdots,N, \\tag1 $$<\/span>\u00a0dove gli\u00a0$l_{ij}(P,\\partial)=l_{ij}(P;\\partial\/\\partial x_1,\\cdots,\\partial\/\\partial x_{n+1})$<\/span>, operatori differenziali lineari, sono polinomi in\u00a0$\\partial$<\/span>\u00a0a coefficienti a valori complessi dipendenti da\u00a0$P$<\/span>\u00a0variabile in un dominio\u00a0$D$<\/span>\u00a0dello spazio euclideo ad\u00a0$n+1$<\/span>\u00a0dimensioni. L’ordine di tali operatori dipende da due sistemi di pesi interi\u00a0$s_1,\\cdots,s_N$<\/span>,\u00a0$t_1,\\cdots,t_N$<\/span>\u00a0nel modo seguente:\u00a0$l_{ij}(P,\\xi)$<\/span>\u00a0\u00e8 un polinomio in\u00a0$\\xi$<\/span>\u00a0di grado\u00a0$\\leq s_i+t_j$<\/span>,\u00a0$i,j=1,\\cdots,N$<\/span>; ovviamente se\u00a0$s_i+t_j<0$<\/span>\u00a0allora\u00a0$l_{ij}(P,\\partial)=0$<\/span>. Aggiungendo una opportuna costante ad un sistema di interi e togliendola all’altro si pu\u00f2 poi assumere\u00a0$s_i\\leq 0$<\/span>\u00a0e poich\u00e8 non tutti gli\u00a0$l_{ij}(P,\\partial)$<\/span>\u00a0sono\u00a0$\\equiv 0$<\/span>\u00a0allora\u00a0$t_j\\geq 0$<\/span>. Detta\u00a0$l_{ij}{}'(P,\\xi)$<\/span>\u00a0la parte di grado\u00a0$s_i+t_j$<\/span>\u00a0del polinomio\u00a0$l_{ij}(P,\\xi)$<\/span>\u00a0la condizione di ellitticit\u00e0 imposta sul sistema (1) \u00e8 la seguente:\u00a0$L(P,\\xi)=\\det\\|l_{ij}{}'(P,\\xi)\\|_{i,j=1,\\cdots,N}\\neq 0$<\/span>\u00a0per\u00a0$\\xi$<\/span>\u00a0reale\u00a0$\\neq 0$<\/span>. Nel caso\u00a0$n=1$<\/span>\u00a0viene imposta la seguente condizione supplementare su\u00a0$L\\colon L(P,\\xi)$<\/span>\u00a0\u00e8 un polinimio in\u00a0$\\xi$<\/span>\u00a0di ordine\u00a0$\\sum_{i=1}^N(s_i+t_i)=2m$<\/span>; per ogni\u00a0$P\\in\\dot D$<\/span>\u00a0(frontiera di\u00a0$D$<\/span>) se\u00a0$n$<\/span>\u00a0\u00e8 la normale a\u00a0$\\dot D$<\/span>\u00a0in\u00a0$P$<\/span>\u00a0e se\u00a0$\\xi$<\/span>\u00a0\u00e8 un vettore reale\u00a0$\\neq 0$<\/span>\u00a0tangente a\u00a0$\\dot D$<\/span>\u00a0in\u00a0$P$<\/span>\u00a0allora il polinomio\u00a0$L(P,\\xi+\\tau n)$<\/span>, nella variabile complessa\u00a0$\\tau$<\/span>, ha esattamente\u00a0$m$<\/span>\u00a0radici\u00a0$\\tau_1{}^+(P,\\xi),\\cdots,\\tau_m{}^+(P,\\xi)$<\/span>\u00a0con parte immaginaria positiva. Il caso\u00a0$m=0$<\/span>\u00a0si pu\u00f2 facilmente risolvere in maniera esplicita [Douglis e Nirenberg, ibid.\u00a08<\/span>\u00a0(1955), 503\u2013538;\u00a0MR0075417<\/a>] e quindi si suppone\u00a0$m>0$<\/span>; inoltre si suppone il sistema uniformemente ellittico. Si considerino poi su\u00a0$\\dot D$<\/span>\u00a0le condizioni al contorno espresse nella forma seguente:\u00a0$$ \\sum_{j=1}^NB_{hj}(P,\\partial)u_j(P)=\\varphi_h(P),\\quad h=1,\\cdots,m, \\tag2 $$<\/span>\u00a0con\u00a0$B_{hj}(P,\\partial)$<\/span>\u00a0operatori differenziali lineari a coefficienti a valori complessi dipendenti da\u00a0$P$<\/span>. Gli ordini di tali operatori dipendono da due sistemi di pesi interi\u00a0$t_1,\\cdots,t_N$<\/span>,\u00a0$r_1,\\cdots,r_m$<\/span>\u00a0nel modo seguente:\u00a0$B_{hj}(P,\\xi)$<\/span>\u00a0\u00e8 un polinomio in\u00a0$\\xi$<\/span>\u00a0di grado\u00a0$\\leq r_h+t_j$<\/span>,\u00a0$h=1,\\cdots,m$<\/span>,\u00a0$j=1,\\cdots,N$<\/span>; naturalmente se\u00a0$r_h+t_j<0$<\/span>\u00a0allora\u00a0$B_{hj}(P,\\partial)=0$<\/span>. Sia\u00a0$B_{hj}{}'(P,\\xi)$<\/span>\u00a0la parte di\u00a0$B_{hj}(P,\\xi)$<\/span>\u00a0di grado\u00a0$r_h+t_j$<\/span>. Indicata con\u00a0$\\|L^{jk}(P,\\xi+\\tau n)\\|_{j,k=1,\\cdots,N}$<\/span>\u00a0la matrice aggiunta di\u00a0$\\|l_{ij}{}'(P,\\xi+\\tau n)\\|_{i,j=1,\\cdots,N}$<\/span>, si impone allora sulle condizioni al contorno (2) la seguente condizione complementare: le righe della matrice\u00a0$$ \\|B_{hj}{}'(P,\\xi+\\tau n)\\|_{\\underset j=1,\\cdots,N\\to{h=1,\\cdots,m}}\\cdot\\|L^{jk}(P,\\xi+\\tau n)\\|_{j,k=1,\\cdots,N}, $$<\/span>\u00a0i cui elementi sono considerati come polinomi in\u00a0$\\tau$<\/span>, devono essere linearmente indipendenti modulo il polinomio, in\u00a0$\\tau$<\/span>,\u00a0$\\prod_{k=1}^m(\\tau-\\tau_k{}^+(P,\\xi))$<\/span>. \u00c8 naturale chiedersi se, dato un sistema ellittico, esistano delle condizioni al contorno che verificano la condizione complementare; per la risposta completa a tale questione gli autori rinviano ad un lavoro non pubblicato di R. Bott; viene solo da essi dimostrato che il problema di Dirichlet per un sistema fortemente ellittico verifica la condizione complementare. Viene dimostrato, sempre nel cap. I, che ogni sistema ellittico pu\u00f2 essere rimodellato, con l’aggiunta di nuove variabili, in modo che sia\u00a0$s_i+t_j\\leq 1$<\/span>\u00a0e che, trasformando di conseguenza le condizioni alla frontiera originarie, la condizione complementare sia ancora verificata.<\/p>\n

Il cap. II \u00e8 dedicato allo studio del sistema (1), (2) con $l_{ij}=l_{ij}{}’$<\/span>\u00a0ed\u00a0$l_{ij}{}’$<\/span>\u00a0a coefficienti costanti e\u00a0$B_{hj}=B_{hj}{}’$<\/span>\u00a0e\u00a0$B_{hj}{}’$<\/span>\u00a0a coefficienti costanti,\u00a0$D$<\/span>\u00a0essendo il semispazio\u00a0$x_{n+1}>0$<\/span>. Nel n.4 viene costruita, medianti opportuni nuclei di Poisson, una formula esplicita per la soluzione del problema studiato nel caso\u00a0$F_i=0$<\/span>,\u00a0$i=1,\\cdots,N$<\/span>. Tale costruzione \u00e8 basata sullo studio, fatto nel n.3, del comportamento asintotico delle soluzioni di sistemi di equazioni differenziali ordinarie con condizioni iniziali molto generali. Sempre nel n.4 vengono date alcune maggiorazioni dei nuclei di Poisson che permetteranno nel n.5 di applicare alla soluzione esplicita il teorema di Calder\u00f3n e Zygmund [Acta Math.\u00a088<\/span>\u00a0(1952), 85\u2013139;\u00a0MR0052553<\/a>]. Fondamentale per il seguito \u00e8 la formula di rappresentazione, ottenuta nel n.6, per le soluzioni del problema non omogeneo. Tale risultato si dimostra usando la formula esplicita ottenuta nel n.4 ed i risultati del n.5 con un ragionamento analogo a quello svolto nella parte I nel caso di una equazione.<\/p>\n

Il cap. III \u00e8 dedicato alla dimostrazione delle maggiorazioni del tipo di Schauder. Tali maggiorazioni vengono dapprima (n.8) ottenute per i problemi considerati nel cap. II, per i quali \u00e8 stata trovata la formula di rappresentazione, ed infine, con le stesse techniche della parte I, tali maggiorazioni vengono estese al caso generale. Sia $l$<\/span>\u00a0intero\u00a0$\\geq 0$<\/span>\u00a0e\u00a0$\\alpha$<\/span>\u00a0reale con\u00a0$0<\\alpha<1$<\/span>; si indica con\u00a0$C^{l+\\alpha}(D)$<\/span>\u00a0lo spazio delle funzioni\u00a0$u$<\/span>\u00a0continue con le loro derivate fino all’ordine\u00a0$l$<\/span>\u00a0in\u00a0$\\overline D=D\\cup\\dot D$<\/span>\u00a0e inoltre con le derivate di ordine\u00a0$l$<\/span>\u00a0uniformemente h\u00f6lderiane di esponente\u00a0$\\alpha$<\/span>\u00a0in\u00a0$D$<\/span>\u00a0normalizzato da\u00a0$$\u00a0 |u|_{l+\\alpha}^D=\\sup_{|h|\\leq 1}\\left(\\sup_{x\\in\\overline D}|\\partial^hu(x)|\\right)\\\\ +\\sup_{|h|=1}\\left(\\sup_{\\underset x\\neq y\\to{x,y\\in D}}\\frac{|\\partial^lu(x)-\\partial^lu(y)|}{|x-y|^\\alpha}\\right)\u00a0 $$<\/span>\u00a0intendendo che per ogni\u00a0$(n+1)$<\/span>-upla\u00a0$h=(h_1,\\cdots,h_{n+1})$<\/span>\u00a0di interi\u00a0$h_i\\geq 0$<\/span>\u00a0\u00e8\u00a0$|h|=\\sum_{i=1}^{n+1}h_i$<\/span>\u00a0e\u00a0$\\partial^hu=\\partial^{|h|}u\/\\partial x_1{}^{h_1}\\cdots\\partial x_{n+1}^{h_{n+1}}$<\/span>. In modo analogo si definisce lo spazio\u00a0$C^{l+\\alpha}(\\dot D)$<\/span>\u00a0con la norma\u00a0$|u|_{l+\\alpha}^{\\dot D}$<\/span>. Si ha allora il Teorema 9.3: sia\u00a0$D$<\/span>\u00a0un dominio limitato di\u00a0$R^{n+1}$<\/span>\u00a0di classe\u00a0$C^{l+\\lambda+\\alpha}$<\/span>\u00a0con\u00a0$l$<\/span>\u00a0intero\u00a0$\\geq l_0=\\max(0,r_1,\\cdots,r_m)$<\/span>,\u00a0$\\alpha$<\/span>\u00a0reale con\u00a0$0<\\alpha<1$<\/span>\u00a0e\u00a0$\\lambda=\\max(t_1,\\cdots,t_N,-s_1,\\cdots,-s_N,-r_1,\\cdots,-r_m)$<\/span>. Supponiamo che i coefficienti di\u00a0$l_{ij}$<\/span>\u00a0siano in\u00a0$C^{l-s_i+\\alpha}(\\overline D)$<\/span>\u00a0e quelli di\u00a0$B_{hj}$<\/span>\u00a0in\u00a0$C^{l-r_h+\\alpha}(\\dot D)$<\/span>. Nelle ipotesi fatte su\u00a0$l_{ij}$<\/span>\u00a0e\u00a0$B_{hj}$<\/span>\u00a0nel cap. I, sia\u00a0$u_1,\\cdots,u_N$<\/span>\u00a0una soluzione di (1) in\u00a0$D$<\/span>\u00a0e di (2) su\u00a0$\\dot D$<\/span>\u00a0con\u00a0$F_i\\in C^{l-s_i+\\alpha}(\\overline D)$<\/span>\u00a0e con\u00a0$\\varphi_h\\in C^{l-r_h+\\alpha}(\\dot D)$<\/span>. Se\u00a0$u_j\\in C^{l_0+t_j+\\alpha}(\\overline D)$<\/span>, allora\u00a0$u_j\\in C^{l+t_j+\\alpha}(\\overline D)$<\/span>\u00a0e vale la maggiorazione:\u00a0$$\u00a0 |u_j|_{l+t_j+\\alpha}^D\\leq C\\left(\\sum_{i=1}^N|F_i|_{l-s_i+\\alpha}^D+\\sum_{h=1}^m|\\varphi_h|_{l-r_h+\\alpha}^{\\dot D}+\\sum_{k=1}^N|u_k|_0{}^D\\right),\\\\ j=1,\\cdots,N,\u00a0 $$<\/span>\u00a0con\u00a0$C$<\/span>\u00a0costante che non dipende da\u00a0$u_1,\\cdots,u_N$<\/span>,\u00a0$F_1,\\cdots,F_N$<\/span>,\u00a0$\\varphi_1,\\cdots,\\varphi_m$<\/span>. Tale risultato \u00e8 anche valido sotto opportune condizioni nel caso in cui\u00a0$D$<\/span>\u00a0sia un dominio illimitato.<\/p>\n

Il cap. IV \u00e8 poi dedicato alle maggiorazioni a priori negli spazi $H_{j,L_p}$<\/span>. Per\u00a0$j$<\/span>\u00a0intero\u00a0$>0$<\/span>,\u00a0$H_{j,L_p}(D)$<\/span>\u00a0\u00e8 qui inteso come completamento astratto di\u00a0$C^\\infty(\\overline D)$<\/span>\u00a0rispetto alla norma\u00a0$\\|u\\|_{j,L_p}=(\\sum_{|h|\\leq j}\\int_D|\\partial^hu|^p\\,dx)^{1\/p}$<\/span>,\u00a0$p>1$<\/span>;\u00a0$H_{j-1\/p,L_p}(\\dot D)$<\/span>\u00a0\u00e8 lo spazio delle funzioni\u00a0$\\varphi$<\/span>\u00a0su\u00a0$\\dot D$<\/span>\u00a0che sono “tracce” su\u00a0$\\dot D$<\/span>\u00a0di funzioni\u00a0$v\\in H_{j,L_p}(D)$<\/span>\u00a0la norma essendovi definita da\u00a0$\\|\\varphi\\|_{j-1\/p,L_p}=\\inf\\|v\\|_{j,L_p}$<\/span>\u00a0fra tutte le\u00a0$v\\in H_{j,L_p}(D)$<\/span>\u00a0aventi\u00a0$\\varphi$<\/span>\u00a0come traccia su\u00a0$\\dot D$<\/span>. Tali maggiorazioni sono ottenute sempre a partire dalla formula di rappresentazione stabilita nel n.6, con lo stesso ragionamento della parte I. Il risultato pi\u00f9 importante per le maggiorazioni di carattere globale \u00e8 il seguente Teorema 10.5: sia\u00a0$l_1=\\max(0,r_1+1,\\cdots,r_m+1)$<\/span>\u00a0e sia\u00a0$l$<\/span>\u00a0un intero\u00a0$\\geq l_1$<\/span>; sia\u00a0$D$<\/span>\u00a0un dominio limitato di classe\u00a0$C^{l+\\lambda}$<\/span>, e supponiamo che i coefficienti di\u00a0$l_{ij}$<\/span>\u00a0siano in\u00a0$C^{l-s_i}(\\overline D)$<\/span>\u00a0e quelli di\u00a0$B_{hj}$<\/span>\u00a0in\u00a0$C^{l-r_h}(\\dot D)$<\/span>. Nelle ipotesi fatte su\u00a0$l_{ij}$<\/span>\u00a0e\u00a0$B_{hj}$<\/span>\u00a0nel cap. I, sia\u00a0$u_1,\\cdots,u_N$<\/span>\u00a0una soluzione di (1) con\u00a0$F_i\\in H_{l-s_i,L_p}(D)$<\/span>\u00a0e di (2) con\u00a0$\\varphi_h\\in H_{l-r_h-1\/p,L_p}(\\dot D)$<\/span>; allora se\u00a0$u_j\\in H_{l_1+t_j,L_p}(D)$<\/span>\u00a0risulta per\u00a0$j=1,\\cdots,N\\ u_j\\in H_{l+t_j,L_p}(D)$<\/span>\u00a0e\u00a0$$\u00a0 \\|u_j\\|_{l+t_j,L_p}\\leq K\\Bigg(\\sum_{i=1}^N\\|F_i\\|_{l-s_i,L_p}\\\\ +\\sum_{h=1}^m\\|\\varphi_h\\|_{l-r_h-1\/p,L_p}+\\sum_{k=1}^N\\|u_k\\|_{0,L_p}\\Bigg)\u00a0 $$<\/span>\u00a0con\u00a0$K$<\/span>\u00a0costante indipendente da\u00a0$u_1,\\cdots,u_N$<\/span>,\u00a0$F_1,\\cdots,F_N$<\/span>,\u00a0$\\varphi_1,\\cdots,\\varphi_m$<\/span>. Vengono poi date anche delle maggiorazioni di carattere locale alla frontiera.<\/p>\n

Nel cap. V viene dimostrata, con alcuni esempi, la necessit\u00e0 delle ipotesi fatte nel cap. I per avere le maggiorazioni a priori (n. 11) e sono date, nei n. 12, 13, 14, alcune applicazioni dei risultati ottenuti: regolarizazzione di sistemi non lineari, perturbazione di problemi non lineari, maggiorazioni di Schauder per equazioni semi-lineari. Vengono infine (n. 15) costruiti dei nuclei di Poisson “approssimati” per equazioni a coefficienti variabili.<\/p>\n

Come \u00e8 detto nell’introduzione, alcuni dei risultati di questo lavoro sono stati annunciati da vari autori.<\/p>\n

Reviewed by\u00a0G. Geymonat<\/a><\/span><\/p>\n

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Louis Nirenberg died January 26, 2020 at the age of 94.\u00a0 He made tremendous contributions to the field of partial differential equations and global analysis. \u00a0<\/p>\n

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